Сопромат для всех

Расчёт геометрических характеристик сложного поперечного сечения

Поддержать проект Послать сообщение Заказать решение

Примеры

Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.
Внимание! Рамки и штампы в примерах эскизов сечения представлены для демонстрации назначения полей (диалог "Параметры листа"). Данный сервис обеспечивает только место для размещения рамки или штампа. Обеспечение эскиза рамкой или штампом лежит на пользователе. Подробно о формировании эскиза сечения в масштабе в ДЕМО-ВИДЕО


Примечание. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 15мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Швеллер №18a
A1 = 22.2см2
Ix1 = 1190см4
Iy1 = 105см4
Профиль №2
Уголок 160x100x12
A2 = 30.04см2
Ix2 = Ix(90°) = 238.75см4
Iy2 = Iy(90°) = 784.22см4
Ix2y2 = Ixy(90°) = -249см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 22.2 + 30.04 = 52.24см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

xC = ∑(Ai · xi)/A = (22.2 · 18.13 + 30.04 · 10.68) / 52.24 = 13.85см,

yC = ∑(Ai · yi)/A = (22.2 · 9 + 30.04 · 19.64) / 52.24 = 15.12см,

где, xi, yi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

IXC = ∑I(i)XC,

IYC = ∑I(i)YC,

IXCYC = ∑I(i)XCYC,

где, IXC, IYC, IXCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)XC, I(i)YC, I(i)XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)XC = Ixi + ai·Ai,

I(i)YC = Iyi + bi·Ai,

I(i)XCYC = Ixiyi + ai·bi·Ai,

где, ai = yi - yC, bi = xi - xC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям YC и XC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №18a":

a1 = 9 - 15.12 = -6.12см,

b1 = 18.13 - 13.85 = 4.28см.

Для профиля №2 "Уголок 160x100x12":

a2 = 19.64 - 15.12 = 4.52см,

b2 = 10.68 - 13.85 = -3.17см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №18a":

I(1)XC = 1190 + (-6.12)2· 22.2 = 2021.05см4,

I(1)YC = 105 + 4.282· 22.2 = 512.44см4,

I(1)XCYC = 0 + (-6.12) · 4.28 · 22.2 = -581.89см4.

Для профиля №2 "Уголок 160x100x12":

I(2)XC = 238.75 + 4.522· 30.04 = 852.91см4,

I(2)YC = 784.22 + (-3.17)2· 30.04 = 1085.32см4,

I(2)XCYC = -249 + 4.52 · (-3.17) · 30.04 = -679.03см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC будут равны:

IXC = 2021.05 + 852.91 = 2873.97см4,

IYC = 512.44 + 1085.32 = 1597.76см4,

IXCYC = -581.89 - 679.03 = -1260.92см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат XCYC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IXCYC / (IXC - IYC) = -2·(-1260.92) / (2873.97 - 1597.76) = 1.976.

Откуда угол поворота будет равен

α = 31.58°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IXC + IYC) / 2 ± ½·[(IXC - IYC)2 + 4·IXCYC2]½ = (2873.97 + 1597.76) / 2 ± ½·[(2873.97 - 1597.76)2 + 4·(-1260.92)2]½ = 2235.86 ± 1413.19.

Следовательно,

Imin = IV = 822.67см4; Imax = IU = 3649.05см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 9.65см; |Vmax| = 17.88см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 3649.05 / 17.88 = 204.05см3; WV = 822.67 / 9.65 = 85.27см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iV = imin = (IV / A)½ = (822.67 / 52.24)½ = 3.97см; iU = imax = (IU / A)½ = (3649.05 / 52.24)½ = 8.36см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть



Примечания.
1. Названия осей координат были поменяны с X и Y на Y и Z.
2. PDF эскиз сечения сформирован без эллипса инерции. Для иллюстрации отчёта эллипс сохранён.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Швеллер №14
A1 = 15.6см2
Iy1 = Iy(180°) = 491.1см4
Iz1 = Iz(180°) = 45.4см4
Профиль №2
Двутавр №12
A2 = 14.7см2
Iy2 = Iy(90°) = 27.9см4
Iz2 = Iz(90°) = 350см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 15.6 + 14.7 = 30.3см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

yC = ∑(Ai · yi)/A = (15.6 · 4.13 + 14.7 · 11.8) / 30.3 = 7.85см,

zC = ∑(Ai · zi)/A = (15.6 · 7 + 14.7 · 9.8) / 30.3 = 8.36см,

где, yi, zi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат YZ.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат YCZC.

IYC = ∑I(i)YC,

IZC = ∑I(i)ZC,

IYCZC = ∑I(i)YCZC,

где, IYC, IZC, IY CZC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)YC, I(i)ZC, I(i)YCZC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)YC = Iyi + ai·Ai,

I(i)ZC = Izi + bi·Ai,

I(i)YCZC = Iyizi + ai·bi·Ai,

где, ai = zi - zC, bi = yi - yC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям ZC и YC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №14":

a1 = 7 - 8.36 = -1.36см,

b1 = 4.13 - 7.85 = -3.72см.

Для профиля №2 "Двутавр №12":

a2 = 9.8 - 8.36 = 1.44см,

b2 = 11.8 - 7.85 = 3.95см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №14":

I(1)YC = 491.1 + (-1.36)2· 15.6 = 519.89см4,

I(1)ZC = 45.4 + (-3.72)2· 15.6 = 261.41см4,

I(1)YCZC = 0 + (-1.36) · (-3.72) · 15.6 = 78.85см4.

Для профиля №2 "Двутавр №12":

I(2)YC = 27.9 + 1.442· 14.7 = 58.45см4,

I(2)ZC = 350 + 3.952· 14.7 = 579.23см4,

I(2)YCZC = 0 + 1.44 · 3.95 · 14.7 = 83.68см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат YCZC будут равны:

IYC = 519.89 + 58.45 = 578.34 см4,

IZC = 261.41 + 579.23 = 840.64 см4,

IYCZC = 78.85 + 83.68 = 162.54см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат YCZC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IYCZC / (IYC - IZC) = -2·162.54 / (578.34 - 840.64) = 1.2393.

Откуда угол поворота будет равен

α = 25.55°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IYC + IZC) / 2± ½·[(IYC - IZC)2 + 4·IYCZC2]½ = (578.34 + 840.64) / 2 ± ½·[(578.34 - 840.64)2 + 4·162.542]½ = 709.49 ± 208.85.

Следовательно,

Imin = IU = 500.63см4; Imax = IV = 918.34см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 10.98см; |Vmax| = 8.48см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 500.63 / 8.48 = 59.06см3; WV = 918.34 / 10.98 = 83.65см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iU = imin = (IU / A)½ = (500.63 / 30.3)½ = 4.06см; iV = imax = (IV / A)½ = (918.34 / 30.3)½ = 5.51см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть



Примечание. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 40мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Уголок 75x75x5
A1 = 7.39см2
Ix1 = 39.53см4
Iy1 = 39.53см4
Ix1y1 = -23.1см4
Профиль №2
Прямоуг. тр-к 30x40
A2 = 6см2
Ix2 = 5.33см4
Iy2 = 3см4
Ix2y2 = 2см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 7.39 + 6 = 13.39см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

xC = ∑(Ai · xi)/A = (7.39 · 5.02 + 6 · 2) / 13.39 = 3.67см,

yC = ∑(Ai · yi)/A = (7.39 · 2.02 + 6 · 1.33) / 13.39 = 1.71см,

где, xi, yi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

IXC = ∑I(i)XC,

IYC = ∑I(i)YC,

IXCYC = ∑I(i)XCYC,

где, IXC, IYC, IX CYC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)XC, I(i)YC, I(i)XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)XC = Ixi + ai·Ai,

I(i)YC = Iyi + bi·Ai,

I(i)XCYC = Ixiyi + ai·bi·Ai,

где, ai = yi - yC, bi = xi - xC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям YC и XC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Уголок 75x75x5":

a1 = 2.02 - 1.71 = 0.31см,

b1 = 5.02 - 3.67 = 1.35см.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 30x40":

a2 = 1.33 - 1.71 = -0.38см,

b2 = 2 - 3.67 = -1.67см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Уголок 75x75x5":

I(1)XC = 39.53 + 0.312· 7.39 = 40.23см4,

I(1)YC = 39.53 + 1.352· 7.39 = 53.06см4,

I(1)XCYC = 2 + 0.31 · 1.35 · 7.39 = -20.02см4.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 30x40":

I(2)XC = 5.33 + (-0.38)2· 6 = 6.2см4,

I(2)YC = 3 + (-1.67)2· 6 = 19.67см4,

I(2)XCYC = 0 + (-0.38) · (-1.67) · 6 = 5.79см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC будут равны:

IXC = 40.23 + 6.2 = 46.42 см4,

IYC = 53.06 + 19.67 = 72.73 см4,

IXCYC = -20.02 + 5.79 = -14.23см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат XCYC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IXCYC / (IXC - IYC) = -2·(-14.23) / (46.42 - 72.73) = -1.0821.

Откуда угол поворота будет равен

α = -23.63°.

Так как угол отрицателен, поворот системы координат UV выполняется по часовой стрелке.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IXC + IYC) / 2± ½·[(IXC - IYC)2 + 4·IXCYC2]½ = (46.42 + 72.73) / 2 ± ½·[(46.42 - 72.73)2 + 4·(-14.23)2]½ = 59.58 ± 19.38.

Следовательно,

Imin = IU = 40.2см4; Imax = IV = 78.96см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 6.95см; |Vmax| = 5.14см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 40.2 / 5.14 = 7.82см3; WV = 78.96 / 6.95 = 11.37см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iU = imin = (IU / A)½ = (40.2 / 13.39)½ = 1.73см; iV = imax = (IV / A)½ = (78.96 / 13.39)½ = 2.43см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть



Примечание. PDF эскиз сформирован без полей (не предусмотрено место под рамку или штамп).

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Двутавр №16
A1 = 20.2см2
Ix1 = 873см4
Iy1 = 58.6см4
Профиль №2
Круг R25
A2 = 19.63см2
Ix2 = 30.68см4
Iy2 = 30.68см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 20.2 + 19.63 = 39.83см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

xC = ∑(Ai · xi)/A = (20.2 · 4.05 + 19.63 · 9.87) / 39.83 = 6.92см,

yC = ∑(Ai · yi)/A = (20.2 · 8 + 19.63 · 17.77) / 39.83 = 12.81см,

где, xi, yi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

IXC = ∑I(i)XC,

IYC = ∑I(i)YC,

IXCYC = ∑I(i)XCYC,

где, IXC, IYC, IX CYC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)XC, I(i)YC, I(i)XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)XC = Ixi + ai·Ai,

I(i)YC = Iyi + bi·Ai,

I(i)XCYC = Ixiyi + ai·bi·Ai,

где, ai = yi - yC, bi = xi - xC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям YC и XC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №16":

a1 = 8 - 12.81 = -4.81см,

b1 = 4.05 - 6.92 = -2.87см.

Для профиля №2 "Круг R25":

a2 = 17.77 - 12.81 = 4.95см,

b2 = 9.87 - 6.92 = 2.95см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №16":

I(1)XC = 873 + (-4.81)2· 20.2 = 1341.24см4,

I(1)YC = 58.6 + (-2.87)2· 20.2 = 224.71см4,

I(1)XCYC = 0 + (-4.81) · (-2.87) · 20.2 = 278.89см4.

Для профиля №2 "Круг R25":

I(2)XC = 30.68 + 4.952· 19.63 = 512.4см4,

I(2)YC = 30.68 + 2.952· 19.63 = 201.57см4,

I(2)XCYC = 0 + 4.95 · 2.95 · 19.63 = 286.92см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC будут равны:

IXC = 1341.24 + 512.4 = 1853.64 см4,

IYC = 224.71 + 201.57 = 426.28 см4,

IXCYC = 278.89 + 286.92 = 565.81см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат XCYC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IXCYC / (IXC - IYC) = -2·565.81 / (1853.64 - 426.28) = -0.7928.

Откуда угол поворота будет равен

α = -19.2°.

Так как угол отрицателен, поворот системы координат UV выполняется по часовой стрелке.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IXC + IYC) / 2± ½·[(IXC - IYC)2 + 4·IXCYC2]½ = (1853.64 + 426.28) / 2 ± ½·[(1853.64 - 426.28)2 + 4·565.812]½ = 1139.96 ± 910.76.

Следовательно,

Imin = IV = 229.2см4; Imax = IU = 2050.72см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 7.58см; |Vmax| = 14.38см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 2050.72 / 14.38 = 142.64см3; WV = 229.2 / 7.58 = 30.24см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iV = imin = (IV / A)½ = (229.2 / 39.83)½ = 2.4см; iU = imax = (IU / A)½ = (2050.72 / 39.83)½ = 7.17см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть



Примечания.
1. Названия осей координат были поменяны с X и Y на Y и Z.
2. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 40мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Двутавр №22
A1 = 30.6см2
Iy1 = Iy(90°) = 157см4
Iz1 = Iz(90°) = 2550см4
Профиль №2
Полоса 250x10
A2 = 25см2
Iy2 = Iy(90°) = 1302.08см4
Iz2 = Iz(90°) = 2.08см4
Профиль №3
Швеллер №20
A3 = 23.4см2
Iy3 = Iy(-90°) = 113см4
Iz3 = Iz(-90°) = 1520см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 30.6 + 25 + 23.4 = 79см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

yC = ∑(Ai · yi)/A = (30.6 · 11 + 25 · 22.5 + 23.4 · 33) / 79 = 21.16см,

zC = ∑(Ai · zi)/A = (30.6 · 5.5 + 25 · 12.5 + 23.4 · 22.93) / 79 = 12.88см,

где, yi, zi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат YZ.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат YCZC.

IYC = ∑I(i)YC,

IZC = ∑I(i)ZC,

IYCZC = ∑I(i)YCZC,

где, IYC, IZC, IYCZC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)YC, I(i)ZC, I(i)YCZC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)YC = Iyi + ai·Ai,

I(i)ZC = Izi + bi·Ai,

I(i)YCZC = Iyizi + ai·bi·Ai,

где, ai = zi - zC, bi = yi - yC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям ZC и YC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №22":

a1 = 5.5 - 12.88 = -7.38см,

b1 = 11 - 21.16 = -10.16см.

Для профиля №2 "Полоса 250x10":

a2 = 12.5 - 12.88 = -0.38см,

b2 = 22.5 - 21.16 = 1.34см.

Для профиля №3 "Швеллер №20":

a3 = 22.93 - 12.88 = 10.05см,

b3 = 33 - 21.16 = 11.84см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №22":

I(1)YC = 157 + (-7.38)2· 30.6 = 1822.71см4,

I(1)ZC = 2550 + (-10.16)2· 30.6 = 5706.03см4,

I(1)YCZC = 0 + (-7.38) · (-10.16) · 30.6 = 2292.82см4.

Для профиля №2 "Полоса 250x10":

I(2)YC = 1302.08 + (-0.38)2· 25 = 1305.66см4,

I(2)ZC = 2.08 + 1.342· 25 = 47.26см4,

I(2)YCZC = 0 + (-0.38) · 1.34 · 25 = -12.7см4.

Для профиля №3 "Швеллер №20":

I(3)YC = 113 + 10.052· 23.4 = 2477.4см4,

I(3)ZC = 1520 + 11.842· 23.4 = 4802.73см4,

I(3)YCZC = 0 + 10.05 · 11.84 · 23.4 = 2785.98см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат YCZC будут равны:

IYC = 1822.71 + 1305.66 + 2477.4 = 5605.76 см4,

IZC = 5706.03 + 47.26 + 4802.73 = 10556.02 см4,

IYCZC = 2292.82 - 12.7 + 2785.98 = 5066.09см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат YCZC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IYCZC / (IYC - IZC) = -2·5066.09 / (5605.76 - 10556.02) = 2.0468.

Откуда угол поворота будет равен

α = 31.98°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IYC + IZC) / 2± ½·[(IYC - IZC)2 + 4·IYCZC2]½ = (5605.76 + 10556.02) / 2 ± ½·[(5605.76 - 10556.02)2 + 4·5066.092]½ = 8080.89 ± 5638.4.

Следовательно,

Imin = IU = 2442.49см4; Imax = IV = 13719.29см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 24.95см; |Vmax| = 11.9см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 2442.49 / 11.9 = 205.25см3; WV = 13719.29 / 24.95 = 549.89см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iU = imin = (IU / A)½ = (2442.49 / 79)½ = 5.56см; iV = imax = (IV / A)½ = (13719.29 / 79)½ = 13.18см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть



Примечание. PDF эскиз сечения сформирован без эллипса инерции. Для иллюстрации отчёта эллипс сохранён.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Двутавр №20
A1 = 26.8см2
Ix1 = 1840см4
Iy1 = 115см4
Профиль №2
Уголок 125x80x7
A2 = 14.06см2
Ix2 = Ix(-90°) = 73.73см4
Iy2 = Iy(-90°) = 226.53см4
Ix2y2 = Ixy(-90°) = -74.7см4
Профиль №3
Швеллер №12
A3 = 13.3см2
Ix3 = Ix(180°) = 304см4
Iy3 = Iy(180°) = 31.2см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 26.8 + 14.06 + 13.3 = 54.16см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

xC = ∑(Ai · xi)/A = (26.8 · 10.2 + 14.06 · 9.21 + 13.3 · 3.66) / 54.16 = 8.34см,

yC = ∑(Ai · yi)/A = (26.8 · 10 + 14.06 · 21.8 + 13.3 · 22) / 54.16 = 16.01см,

где, xi, yi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

IXC = ∑I(i)XC,

IYC = ∑I(i)YC,

IXCYC = ∑I(i)XCYC,

где, IXC, IYC, IX CYC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)XC, I(i)YC, I(i)XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)XC = Ixi + ai·Ai,

I(i)YC = Iyi + bi·Ai,

I(i)XCYC = Ixiyi + ai·bi·Ai,

где, ai = yi - yC, bi = xi - xC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям YC и XC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №20":

a1 = 10 - 16.01 = -6.01см,

b1 = 10.2 - 8.34 = 1.86см.

Для профиля №2 "Уголок 125x80x7":

a2 = 21.8 - 16.01 = 5.79см,

b2 = 9.21 - 8.34 = 0.87см.

Для профиля №3 "Швеллер №12":

a3 = 22 - 16.01 = 5.99см,

b3 = 3.66 - 8.34 = -4.68см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №20":

I(1)XC = 1840 + (-6.01)2· 26.8 = 2808.06см4,

I(1)YC = 115 + 1.862· 26.8 = 208.02см4,

I(1)XCYC = 0 + (-6.01) · 1.86 · 26.8 = -300.08см4.

Для профиля №2 "Уголок 125x80x7":

I(2)XC = 73.73 + 5.792· 14.06 = 545.06см4,

I(2)YC = 226.53 + 0.872· 14.06 = 237.25см4,

I(2)XCYC = 0 + 5.79 · 0.87 · 14.06 = -3.63см4.

Для профиля №3 "Швеллер №12":

I(3)XC = 304 + 5.992· 13.3 = 781.19см4,

I(3)YC = 31.2 + (-4.68)2· 13.3 = 322.13см4,

I(3)XCYC = 0 + 5.99 · (-4.68) · 13.3 = -372.59см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC будут равны:

IXC = 2808.06 + 545.06 + 781.19 = 4134.3 см4,

IYC = 208.02 + 237.25 + 322.13 = 767.39 см4,

IXCYC = -300.08 - 3.63 - 372.59 = -676.3см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат XCYC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IXCYC / (IXC - IYC) = -2·(-676.3) / (4134.3 - 767.39) = 0.4017.

Откуда угол поворота будет равен

α = 10.94°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IXC + IYC) / 2± ½·[(IXC - IYC)2 + 4·IXCYC2]½ = (4134.3 + 767.39) / 2 ± ½·[(4134.3 - 767.39)2 + 4·(-676.3)2]½ = 2450.85 ± 1814.22.

Следовательно,

Imin = IV = 636.62см4; Imax = IU = 4265.07см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 10.02см; |Vmax| = 17.02см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 4265.07 / 17.02 = 250.56см3; WV = 636.62 / 10.02 = 63.54см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iV = imin = (IV / A)½ = (636.62 / 54.16)½ = 3.43см; iU = imax = (IU / A)½ = (4265.07 / 54.16)½ = 8.87см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть