Сопромат для всех

Расчёт геометрических характеристик составной фигуры

Поддержать проект Послать сообщение Заказать решение

Примеры

Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.
Внимание! В примерах PDF эскизов рамки и штампы представлены для демонстрации назначения полей (диалог "Параметры листа"). Данный сервис обеспечивает только место для размещения рамки или штампа. Обеспечение эскиза рамкой или штампом лежит на пользователе. Подробно о формировании PDF эскиза в ДЕМО-ВИДЕО


Примечания.
1. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 15мм.
2. PDF эскиз сформирован без эллипса инерции. Для иллюстрации отчёта эллипс сохранён.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Прямоуг. тр-к 60x60
A1 = 18см2
Ix1 = Ix(90°) = 36см4
Iy1 = Iy(90°) = 36см4
Ix1y1 = Ixy(90°) = 18см4
Профиль №2
Прямоуг-к 30x60
A2 = 18см2
Ix2 = 54см4
Iy2 = 13.5см4
Профиль №3
Четверть круга R30
A3 = -7.07см2
Ix3 = Ix(90°) = -4.45см4
Iy3 = Iy(90°) = -4.45см4
Ix3y3 = Ixy(90°) = -1.33см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 18 + 18 - 7.07 = 28.93см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

xC = ∑(Ai · xi)/A = (18 · 4 + 18 · 7.5 + (-7.07) · 7.73) / 28.93 = 5.27см,

yC = ∑(Ai · yi)/A = (18 · 2 + 18 · 3 + (-7.07) · 1.27) / 28.93 = 2.8см,

где, xi, yi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

IXC = ∑I(i)XC,

IYC = ∑I(i)YC,

IXCYC = ∑I(i)XCYC,

где, IXC, IYC, IX CYC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)XC, I(i)YC, I(i)XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)XC = Ixi + ai·Ai,

I(i)YC = Iyi + bi·Ai,

I(i)XCYC = Ixiyi + ai·bi·Ai,

где, ai = yi - yC, bi = xi - xC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям YC и XC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 60x60":

a1 = 2 - 2.8 = -0.8см,

b1 = 4 - 5.27 = -1.27см.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 30x60":

a2 = 3 - 2.8 = 0.2см,

b2 = 7.5 - 5.27 = 2.23см.

Для профиля №3 "Четверть круга R30":

a3 = 1.27 - 2.8 = -1.53см,

b3 = 7.73 - 5.27 = 2.46см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 60x60":

I(1)XC = 36 + (-0.8)2· 18 = 47.51см4,

I(1)YC = 36 + (-1.27)2· 18 = 64.9см4,

I(1)XCYC = 0 + (-0.8) · (-1.27) · 18 = 36.24см4.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 30x60":

I(2)XC = 54 + 0.22· 18 = 54.72см4,

I(2)YC = 13.5 + 2.232· 18 = 103.25см4,

I(2)XCYC = 0 + 0.2 · 2.23 · 18 = 8.05см4.

Для профиля №3 "Четверть круга R30":

I(3)XC = -4.45 + (-1.53)2· (-7.07) = -20.92см4,

I(3)YC = -4.45 + 2.462· (-7.07) = -47.21см4,

I(3)XCYC = 0 + (-1.53) · 2.46 · (-7.07) = 25.21см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC будут равны:

IXC = 47.51 + 54.72 - 20.92 = 81.32 см4,

IYC = 64.9 + 103.25 - 47.21 = 120.94 см4,

IXCYC = 36.24 + 8.05 + 25.21 = 69.5см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат XCYC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IXCYC / (IXC - IYC) = -2·69.5 / (81.32 - 120.94) = 3.5083.

Откуда угол поворота будет равен

α = 37.05°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IXC + IYC) / 2± ½·[(IXC - IYC)2 + 4·IXCYC2]½ = (81.32 + 120.94) / 2 ± ½·[(81.32 - 120.94)2 + 4·69.52]½ = 101.13 ± 72.26.

Следовательно,

Imin = IU = 28.86см4; Imax = IV = 173.39см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 5.89см; |Vmax| = 2.68см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 28.86 / 2.68 = 10.79см3; WV = 173.39 / 5.89 = 29.43см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iU = imin = (IU / A)½ = (28.86 / 28.93)½ = 1см; iV = imax = (IV / A)½ = (173.39 / 28.93)½ = 2.45см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть



Примечания. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 40мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Полукруг R30
A1 = 14.14см2
Ix1 = Ix(-90°) = 31.81см4
Iy1 = Iy(-90°) = 8.89см4
Профиль №2
Прямоуг. тр-к 60x50
A2 = 15см2
Ix2 = Ix(90°) = 30см4
Iy2 = Iy(90°) = 20.83см4
Ix2y2 = Ixy(90°) = 12.5см4
Профиль №3
Равнобедр. тр-к 40x20
A3 = -4см2
Ix3 = Ix(-90°) = -2.67см4
Iy3 = Iy(-90°) = -0.89см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 14.14 + 15 - 4 = 25.14см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

xC = ∑(Ai · xi)/A = (14.14 · 6.27 + 15 · 3.33 + (-4) · 5.67) / 25.14 = 4.62см,

yC = ∑(Ai · yi)/A = (14.14 · 3 + 15 · 2 + (-4) · 3) / 25.14 = 2.4см,

где, xi, yi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

IXC = ∑I(i)XC,

IYC = ∑I(i)YC,

IXCYC = ∑I(i)XCYC,

где, IXC, IYC, IX CYC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)XC, I(i)YC, I(i)XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)XC = Ixi + ai·Ai,

I(i)YC = Iyi + bi·Ai,

I(i)XCYC = Ixiyi + ai·bi·Ai,

где, ai = yi - yC, bi = xi - xC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям YC и XC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Полукруг R30":

a1 = 3 - 2.4 = 0.6см,

b1 = 6.27 - 4.62 = 1.66см.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 60x50":

a2 = 2 - 2.4 = -0.4см,

b2 = 3.33 - 4.62 = -1.28см.

Для профиля №3 "Равнобедр. тр-к 40x20":

a3 = 3 - 2.4 = 0.6см,

b3 = 5.67 - 4.62 = 1.05см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Полукруг R30":

I(1)XC = 31.81 + 0.62· 14.14 = 36.84см4,

I(1)YC = 8.89 + 1.662· 14.14 = 47.74см4,

I(1)XCYC = 0 + 0.6 · 1.66 · 14.14 = 13.99см4.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 60x50":

I(2)XC = 30 + (-0.4)2· 15 = 32.44см4,

I(2)YC = 20.83 + (-1.28)2· 15 = 45.49см4,

I(2)XCYC = 0 + (-0.4) · (-1.28) · 15 = 20.26см4.

Для профиля №3 "Равнобедр. тр-к 40x20":

I(3)XC = -2.67 + 0.62· (-4) = -4.09см4,

I(3)YC = -0.89 + 1.052· (-4) = -5.31см4,

I(3)XCYC = 0 + 0.6 · 1.05 · (-4) = -2.51см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC будут равны:

IXC = 36.84 + 32.44 - 4.09 = 65.19 см4,

IYC = 47.74 + 45.49 - 5.31 = 87.92 см4,

IXCYC = 13.99 + 20.26 - 2.51 = 31.73см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат XCYC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IXCYC / (IXC - IYC) = -2·31.73 / (65.19 - 87.92) = 2.7916.

Откуда угол поворота будет равен

α = 35.15°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IXC + IYC) / 2± ½·[(IXC - IYC)2 + 4·IXCYC2]½ = (65.19 + 87.92) / 2 ± ½·[(65.19 - 87.92)2 + 4·31.732]½ = 76.56 ± 33.71.

Следовательно,

Imin = IU = 42.85см4; Imax = IV = 110.26см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 5.16см; |Vmax| = 2.73см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 42.85 / 2.73 = 15.68см3; WV = 110.26 / 5.16 = 21.38см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iU = imin = (IU / A)½ = (42.85 / 25.14)½ = 1.31см; iV = imax = (IV / A)½ = (110.26 / 25.14)½ = 2.09см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть



Примечание. Названия осей координат были поменяны с X и Y на Y и Z.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1
Прямоуг. тр-к 30x60
A1 = 9см2
Iy1 = Iy(90°) = 4.5см4
Iz1 = Iz(90°) = 18см4
Iy1z1 = Iyz(90°) = 4.5см4
Профиль №2
Прямоуг-к 60x30
A2 = 18см2
Iy2 = Iy(90°) = 54см4
Iz2 = Iz(90°) = 13.5см4
Профиль №3
Полукруг R20
A3 = 6.28см2
Iy3 = Iy(-90°) = 6.28см4
Iz3 = Iz(-90°) = 1.76см4
Профиль №4
Круг R15
A4 = -7.07см2
Iy4 = -3.98см4
Iz4 = -3.98см4

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑Ai = 9 + 18 + 6.28 - 7.07 = 26.21см2,

где, Ai - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

yC = ∑(Ai · yi)/A = (9 · 4 + 18 · 7.5 + 6.28 · 9.85 + (-7.07) · 9) / 26.21 = 6.46см,

zC = ∑(Ai · zi)/A = (9 · 1 + 18 · 3 + 6.28 · 4 + (-7.07) · 4) / 26.21 = 2.28см,

где, yi, zi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат YZ.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат YCZC.

IYC = ∑I(i)YC,

IZC = ∑I(i)ZC,

IYCZC = ∑I(i)YCZC,

где, IYC, IZC, IY CZC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, I(i)YC, I(i)ZC, I(i)YCZC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

I(i)YC = Iyi + ai·Ai,

I(i)ZC = Izi + bi·Ai,

I(i)YCZC = Iyizi + ai·bi·Ai,

где, ai = zi - zC, bi = yi - yC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям ZC и YC соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 30x60":

a1 = 1 - 2.28 = -1.28см,

b1 = 4 - 6.46 = -2.46см.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 60x30":

a2 = 3 - 2.28 = 0.72см,

b2 = 7.5 - 6.46 = 1.04см.

Для профиля №3 "Полукруг R20":

a3 = 4 - 2.28 = 1.72см,

b3 = 9.85 - 6.46 = 3.39см.

Для профиля №4 "Круг R15":

a4 = 4 - 2.28 = 1.72см,

b4 = 9 - 6.46 = 2.54см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 30x60":

I(1)YC = 4.5 + (-1.28)2· 9 = 19.32см4,

I(1)ZC = 18 + (-2.46)2· 9 = 72.33см4,

I(1)YCZC = 0 + (-1.28) · (-2.46) · 9 = 32.88см4.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 60x30":

I(2)YC = 54 + 0.722· 18 = 63.24см4,

I(2)ZC = 13.5 + 1.042· 18 = 33.09см4,

I(2)YCZC = 0 + 0.72 · 1.04 · 18 = 13.45см4.

Для профиля №3 "Полукруг R20":

I(3)YC = 6.28 + 1.722· 6.28 = 24.8см4,

I(3)ZC = 1.76 + 3.392· 6.28 = 74.05см4,

I(3)YCZC = 0 + 1.72 · 3.39 · 6.28 = 36.58см4.

Для профиля №4 "Круг R15":

I(4)YC = -3.98 + 1.722· (-7.07) = -24.81см4,

I(4)ZC = -3.98 + 2.542· (-7.07) = -49.69см4,

I(4)YCZC = 0 + 1.72 · 2.54 · (-7.07) = -30.86см4.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат YCZC будут равны:

IYC = 19.32 + 63.24 + 24.8 - 24.81 = 82.56 см4,

IZC = 72.33 + 33.09 + 74.05 - 49.69 = 129.77 см4,

IYCZC = 32.88 + 13.45 + 36.58 - 30.86 = 52.06см4.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат YCZC определится по следующей формуле

tg(2α) = -2IYCZC / (IYC - IZC) = -2·52.06 / (82.56 - 129.77) = 2.2056.

Откуда угол поворота будет равен

α = 32.81°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

Imax,min = (IYC + IZC) / 2± ½·[(IYC - IZC)2 + 4·IYCZC2]½ = (82.56 + 129.77) / 2 ± ½·[(82.56 - 129.77)2 + 4·52.062]½ = 106.16 ± 57.16.

Следовательно,

Imin = IU = 49см4; Imax = IV = 163.32см4.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

WU = IU / |Vmax|; WV = IV / |Umax|.

Из эскиза сечения найдем

|Umax| = 6.66см; |Vmax| = 3.37см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

WU = 49 / 3.37 = 14.53см3; WV = 163.32 / 6.66 = 24.51см3.

7. Определение главных радиусов инерции

iU = imin = (IU / A)½ = (49 / 26.21)½ = 1.37см; iV = imax = (IV / A)½ = (163.32 / 26.21)½ = 2.5см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть